Você assistiu Stranger Things? Na série, existe o Mundo Invertido — um lugar sombrio que espelha o mundo real, mas com regras diferentes. Os personagens precisam entrar nele, descobrir o que está acontecendo lá dentro, e voltar com a informação.

Na matemática acontece algo parecido, e muito menos assustador. Alguns problemas são difíceis no "mundo normal" e triviais num mundo invertido — um universo paralelo construído por uma transformação matemática. O segredo está em encontrar essa transformação, atravessar para o outro lado, resolver o problema de forma fácil, e retornar com a solução traduzida de volta.

A bijeção entre dois mundos

O exemplo mais familiar é o logaritmo. Multiplicar dois números grandes é trabalhoso; somá-los é fácil. O logaritmo converte multiplicação em adição:

$$\log(a \cdot b) = \log a + \log b$$

No século XVII, John Napier inventou as tábuas de logaritmos precisamente para poupar os astrônomos de multiplicações intermináveis. Johannes Kepler foi um dos primeiros a usá-las intensamente — e chegou às suas leis do movimento planetário em parte graças a essa ferramenta. A ideia era entrar no mundo dos logaritmos, fazer uma soma simples, e retornar com o resultado da multiplicação. Conta de vezes, no mundo original, vira conta de soma no mundo invertido.

Essa ideia de bijeção entre dois mundos aparece em toda a matemática. A Transformada de Fourier converte convolução em multiplicação. A Transformada de Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas. Em cada caso, a transformação é invertível: o que você descobre no mundo invertido pode ser traduzido de volta.

Inversão geométrica

Na geometria plana existe uma transformação com esse mesmo espírito. Fixe um ponto $O$ (centro de inversão) e um raio $R > 0$. A inversão geométrica mapeia cada ponto $P \ne O$ a um único ponto $P'$, na mesma semirreta $\overrightarrow{OP}$, satisfazendo:

$$OP \cdot OP' = R^2$$

Quanto mais perto $P$ está de $O$, mais longe vai $P'$ — e vice-versa. Os pontos sobre o próprio círculo de raio $R$ ficam fixos.

A inversão tem propriedades notáveis que a tornam útil:

• Círculos que não passam por $O$ mapeiam para outros círculos.
• Círculos que passam por $O$ mapeiam para retas.
• A transformação é uma involução: aplicada duas vezes, devolve o ponto original.
• Tangências são preservadas: se dois círculos se tocam, suas imagens também se tocam.

A última propriedade é a chave para o que vem a seguir.

A corrente de Steiner

Dado dois círculos — um dentro do outro, não necessariamente concêntricos — uma corrente de Steiner com $n$ elos é uma sequência fechada de $n$ círculos, cada um tangente às duas circunferências-base e aos dois vizinhos da cadeia.

O problema é: para quais pares de circunferências-base tal corrente existe?

A resposta direta, no mundo original com dois círculos excêntricos, envolve álgebra pesada. No mundo invertido, o problema se dissolve.

O truque

Qualquer par de círculos sem intersecção pode ser levado, por uma inversão bem escolhida, a um par de círculos concêntricos. Nesse mundo invertido:

• Os $n$ elos da corrente têm todos o mesmo raio $\rho = \frac{R - r}{2}$, onde $R$ e $r$ são os raios externo e interno.
• Seus centros estão igualmente espaçados num círculo de raio $\frac{R+r}{2}$.
• A condição de fechamento — o elo $n$ deve ser tangente ao elo $1$ — reduz-se a uma única equação trigonométrica:

$$\boxed{\sin\frac{\pi}{n} = \frac{R - r}{R + r}}$$

Para $n = 5$: $\sin 36° \approx 0{,}588$, logo $r \approx 0{,}260\,R$.

Como a inversão preserva tangências, qualquer corrente que fecha no mundo concêntrico fecha igualmente no mundo original. E mais: se a corrente fecha para alguma posição inicial, ela fecha para qualquer posição — os elos podem deslizar livremente ao redor das circunferências-base. Esse resultado surpreendente é o Teorema de Steiner.

Animação interativa

A animação abaixo mostra os dois mundos simultaneamente. À esquerda: a corrente original concêntrica, girando. À direita: a imagem invertida — a corrente de Steiner num par de círculos excêntricos, que é o caso geral. O ponto $O$ é o centro de inversão: arraste-o e veja o mundo invertido se deformar, mantendo sempre as cinco tangências.

O ponto P está fixo no referencial do círculo que o contém. Sua imagem P' satisfaz $OP \cdot OP' = R^2$ e aparece sempre colinear com $O$ e $P$.

Arraste O para mudar a inversão. P e P' são sempre colineares com O e satisfazem OP · OP' = R².

O que a animação mostra

À esquerda vê-se a cadeia concêntrica: os cinco círculos com raios iguais, espaçados uniformemente, girando em torno dos dois círculos-base — é o mundo fácil, onde a equação de fechamento $\sin(\pi/5) = (R-r)/(R+r)$ é imediata.

À direita está a cadeia original no mundo excêntrico: os cinco elos têm tamanhos diferentes e estão distribuídos de forma irregular — exatamente o caso geral do Teorema de Steiner. Toda a complexidade do problema original se dissolve quando visto pelo lado direito da bijeção.

Arrastar o ponto $O$ muda a inversão: você está escolhendo como os dois mundos se correspondem. O teorema continua verdadeiro para qualquer posição de $O$ fora dos círculos-base.

Referências

• H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer — Geometry Revisited. Mathematical Association of America, 1967.
• C. Stanley Ogilvy — Excursions in Geometry. Oxford University Press, 1969.

Imagine um carro que percorre uma estrada de ida com velocidade $v_1$ e volta com velocidade $v_2$. Qual é a velocidade média do percurso total? A resposta intuitiva — fazer a média aritmética $\frac{v_1+v_2}{2}$ — está errada. A resposta correta usa a média harmônica.

Por que a intuição falha

A velocidade média não é a média das velocidades. É definida como:

$$\bar{v} = \frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}$$

O erro clássico é somar as velocidades e dividir por dois. Isso seria correto se os tempos fossem iguais — mas aqui os tempos são diferentes. Com velocidades distintas, o trajeto mais lento consome mais tempo, e por isso "pesa mais" no resultado.

Demonstração

Seja $d$ a distância de ida (e também de volta). A distância total é $2d$.

O tempo de ida é $t_1 = \dfrac{d}{v_1}$ e o tempo de volta é $t_2 = \dfrac{d}{v_2}$.

O tempo total é:

$$t = t_1 + t_2 = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2} = d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) = d\cdot\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$$

Portanto, a velocidade média é:

$$\bar{v} = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{d\cdot\dfrac{v_1+v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$$

Essa é exatamente a média harmônica de $v_1$ e $v_2$:

$$\boxed{\bar{v} = \frac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}}$$

Comparando as três médias

Para $v_1 = 60\ \text{km/h}$ e $v_2 = 120\ \text{km/h}$:

Média	Fórmula	Resultado
Aritmética	$\dfrac{60 + 120}{2}$	$90\ \text{km/h}$
Harmônica	$\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 120}{60 + 120}$	$80\ \text{km/h}$

A média aritmética superestima a velocidade média real. Isso faz sentido: o trecho lento (60 km/h) dura o dobro do tempo que o trecho rápido (120 km/h), então "domina" a média temporal.

Desigualdade entre as médias

Em geral, para quaisquer $v_1, v_2 > 0$ com $v_1 \ne v_2$, vale a desigualdade:

$$\underbrace{\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}}_{\text{harmônica}} < \underbrace{\sqrt{v_1 v_2}}_{\text{geométrica}} < \underbrace{\frac{v_1+v_2}{2}}_{\text{aritmética}}$$

A média harmônica é sempre a menor das três. A igualdade ocorre somente quando $v_1 = v_2$.

Visualização interativa

Três objetos partem do mesmo ponto e percorrem a distância $2d$ (ida e volta). O objeto azul usa as velocidades reais $v_1$ e $v_2$. O objeto verde anda o tempo todo com a média harmônica. O objeto vermelho anda com a média aritmética. Ao fim do percurso, azul e verde chegam juntos — vermelho chega antes, porque superestima a velocidade.

Generalização: $n$ trechos

Se um percurso é dividido em $n$ trechos de mesma distância com velocidades $v_1, v_2, \ldots, v_n$, a velocidade média é a média harmônica:

$$\bar{v} = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{v_i}}$$

Se os trechos tiverem mesmos tempos (não mesmas distâncias), aí sim a média aritmética seria a correta. O ponto-chave é sempre perguntar: o que está sendo igualado — as distâncias ou os tempos?

Resumo

Situação	Média correta
Mesmas distâncias, velocidades diferentes	Harmônica
Mesmos tempos, velocidades diferentes	Aritmética
Mesmos tempos, magnitudes diferentes	Geométrica (crescimento)

Quando a velocidade se aplica a espaço percorrido e queremos a velocidade equivalente global, sempre recorra à definição: distância total dividida pelo tempo total. Se os trechos são equidistantes, isso resulta na média harmônica.

Todo número complexo não nulo possui exatamente $n$ raízes $n$-ésimas distintas, distribuídas simetricamente sobre uma circunferência no plano complexo. Para encontrá-las, a chave é passar pela forma trigonométrica.

Forma algébrica e forma trigonométrica

Um número complexo na forma algébrica é escrito como

$$z = a + bi, \quad a, b \in \mathbb{R},$$

onde $a = \operatorname{Re}(z)$ é a parte real e $b = \operatorname{Im}(z)$ é a parte imaginária.

O módulo de $z$ é a distância da origem ao afixo:

$$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

O argumento $\theta = \arg(z)$ é o ângulo que o segmento $\overrightarrow{Oz}$ forma com o semieixo real positivo. Geometricamente,

$$\cos\theta = \frac{a}{r}, \qquad \sin\theta = \frac{b}{r}.$$

Com isso, a forma trigonométrica (ou polar) é

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta).$$

A conversão inversa — de trigonométrica para algébrica — é imediata:

$$a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta.$$

As raízes $n$-ésimas

Queremos encontrar todos os $w \in \mathbb{C}$ tais que $w^n = z$. Escrevemos $w$ na forma trigonométrica:

$$w = \rho(\cos\varphi + i\sin\varphi).$$

Pela fórmula de De Moivre,

$$w^n = \rho^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)).$$

Para que $w^n = z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, precisamos de

$$\rho^n = r \quad \Longrightarrow \quad \rho = \sqrt[n]{r} = r^{1/n}$$

e

$$n\varphi = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \Longrightarrow \quad \varphi_k = \frac{\theta + 2k\pi}{n}.$$

Como seno e cosseno têm período $2\pi$, os valores $k = 0, 1, \ldots, n-1$ geram exatamente $n$ raízes distintas. Portanto:

$$\boxed{w_k = \sqrt[n]{r}\!\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1.}$$

Todas as raízes têm o mesmo módulo $\sqrt[n]{r}$ e seus afixos estão igualmente espaçados sobre uma circunferência de raio $\sqrt[n]{r}$, formando um polígono regular de $n$ lados.

Visualização interativa

Experimente mudar os valores de $a$, $b$ e $n$. Note que os $n$ afixos estão sempre igualmente espaçados na circunferência — a simetria rotacional das raízes é uma consequência direta da periodicidade $2\pi$ do argumento.

O tetraedro regular é o mais simples dos poliedros regulares: 4 faces triangulares equiláteras congruentes, 4 vértices e 6 arestas de comprimento $l$.

Altura da face

Seja $ABC$ uma face com $M$ o ponto médio de $BC$. O segmento $AM$ é a altura relativa a $BC$. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $ABM$:

$$h_f^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = l^2 \implies h_f^2 = \frac{3l^2}{4} \implies \boxed{h_f = \frac{l\sqrt{3}}{2}.}$$

Área da face e área total

$$A_f = \frac{1}{2}\cdot l \cdot h_f = \frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}.$$

Como as 4 faces são congruentes:

$$\boxed{A_T = 4\,A_f = l^2\sqrt{3}.}$$

A projeção de um vértice é o baricentro da face oposta

Seja $D$ o vértice e $\pi$ o plano da face oposta $ABC$. Chame de $P$ o pé da perpendicular de $D$ sobre $\pi$.

Como todas as arestas têm comprimento $l$, temos $DA = DB = DC = l$. Para qualquer vértice $X \in \{A,B,C\}$, o triângulo $DXP$ é retângulo em $P$:

$$PX^2 = DX^2 - DP^2 = l^2 - DP^2.$$

Portanto $PA = PB = PC$: $P$ é equidistante dos três vértices de $\triangle ABC$, logo é o circuncentro de $\triangle ABC$.

Para o triângulo equilátero, circuncentro, baricentro e incentro coincidem. Portanto

$$\boxed{P = G = \frac{A+B+C}{3}.} \quad \square$$

Altura do tetraedro

O baricentro $G$ divide cada mediana na razão $2:1$ a partir do vértice, logo o circunraio é

$$R = PA = \frac{2}{3}\,h_f = \frac{2}{3}\cdot\frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{l\sqrt{3}}{3}.$$

No triângulo retângulo $DPA$ (ângulo reto em $P$):

$$H^2 = DA^2 - PA^2 = l^2 - \frac{l^2}{3} = \frac{2l^2}{3} \implies \boxed{H = \frac{l\sqrt{6}}{3}.}$$

Volume

Pela fórmula da pirâmide $V = \tfrac{1}{3} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}$:

$$V = \frac{1}{3}\cdot A_f \cdot H = \frac{1}{3}\cdot\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{l\sqrt{6}}{3} = \frac{l^3\sqrt{18}}{36}.$$

Como $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$:

$$\boxed{V = \frac{l^3\sqrt{2}}{12}.}$$

Sólido interativo

Arraste para girar. $A$, $B$, $C$ formam a face base; $D$ é o ápice; $M$ é o ponto médio de $BC$; $P$ é a projeção de $D$ sobre $ABC$ (baricentro).