Toda matriz satisfaz sua própria equação característica — uma das afirmações mais elegantes de toda a álgebra linear.

Motivação

Dada uma matriz $A \in M_{n\times n}(\mathbb{F})$, define-se seu polinômio característico como

$$p(\lambda) = \det(\lambda I - A).$$

As raízes de $p$ são os autovalores de $A$. Uma pergunta natural surge: o que acontece quando substituímos $\lambda$ pela própria matriz $A$?

Teorema

Teorema (Cayley-Hamilton). Seja $A \in M_{n\times n}(\mathbb{F})$ e $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ seu polinômio característico. Então

$$p(A) = 0.$$

Isto é, toda matriz anula seu próprio polinômio característico. O resultado vale sobre qualquer corpo $\mathbb{F}$.

Um aviso importante

A "demonstração" ingênua consiste em substituir $\lambda = A$ diretamente em $\det(\lambda I - A)$, obtendo $\det(AI - A) = \det(0) = 0$. Esse argumento está errado: $\det(\lambda I - A)$ é um polinômio escalar em $\lambda$, e a substituição $\lambda \mapsto A$ não faz sentido dentro do determinante.

Demonstração

Usamos a matriz adjunta (adjugada). Para qualquer $\lambda$, existe uma matriz polinomial $B(\lambda)$ com entradas polinomiais em $\lambda$ tal que

$$(\lambda I - A)\, B(\lambda) = p(\lambda)\, I.$$

Isso é a identidade $M \cdot \text{adj}(M) = \det(M)\,I$ aplicada a $M = \lambda I - A$. Como $B(\lambda)$ tem grau no máximo $n-1$, escrevemos

$$B(\lambda) = B_{n-1}\lambda^{n-1} + B_{n-2}\lambda^{n-2} + \cdots + B_0,$$

com $B_k \in M_{n\times n}(\mathbb{F})$. Igualando coeficientes de cada potência de $\lambda$ com os de $p(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_0$, obtemos:

$$B_{n-1} = I,$$ $$B_{k-1} - A B_k = c_k\, I \quad (k = n{-}1, \ldots, 1),$$ $$-A B_0 = c_0\, I.$$

Multiplicamos a $k$-ésima equação por $A^k$ e somamos tudo. O lado esquerdo colapsa a zero por cancelamento telescópico, portanto

$$p(A) = A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1 A + c_0 I = 0. \quad \square$$

Exemplo numérico

Seja $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. O polinômio característico é

$$p(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-3) = \lambda^2 - 4\lambda + 3.$$

Calculemos $p(A) = A^2 - 4A + 3I$:

$$A^2 = \begin{pmatrix}1&8\\0&9\end{pmatrix}, \qquad 4A = \begin{pmatrix}4&8\\0&12\end{pmatrix}, \qquad 3I = \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}.$$

$$p(A) = \begin{pmatrix}1&8\\0&9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4&8\\0&12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \checkmark$$

Corolários e aplicações

Toda potência $A^k$ com $k \geq n$ pode ser escrita como combinação linear de $I, A, \ldots, A^{n-1}$. Em particular, o polinômio mínimo de $A$ divide $p(\lambda)$.

Se $A$ é invertível ($c_0 \neq 0$), podemos expressar $A^{-1}$ diretamente:

$$A^{-1} = -\frac{1}{c_0}\bigl(A^{n-1} + c_{n-1}A^{n-2} + \cdots + c_1 I\bigr).$$

A função afim (ou de primeiro grau) é talvez a função mais simples com variação não-trivial. Ela aparece em física como movimento uniforme, em economia como custo marginal constante e em geometria como a equação de uma reta.

Definição

Uma função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é afim quando pode ser escrita na forma

$$f(x) = ax + b, \qquad a, b \in \mathbb{R},\; a \neq 0.$$

Os dois parâmetros têm interpretações geométricas precisas:

• $a$ é a inclinação (coeficiente angular): mede a taxa de variação de $f$ por unidade de $x$.
• $b$ é o intercepto (coeficiente linear): o valor $f(0)$, onde a reta cruza o eixo $y$.

Taxa de variação constante

Dados quaisquer dois pontos $x_1 \neq x_2$, a razão de variação é sempre a mesma:

$$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(ax_2 + b) - (ax_1 + b)}{x_2 - x_1} = \frac{a(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a.$$

Essa constância é a propriedade que caracteriza as funções afins entre todas as funções reais.

Casos especiais

• $a > 0$: função crescente — a reta sobe da esquerda para a direita.
• $a < 0$: função decrescente — a reta desce.
• $b = 0$: a reta passa pela origem; $f$ é chamada de função linear (ou homogênea de grau 1).

Gráfico interativo

Use os controles abaixo para explorar como $a$ e $b$ moldam a reta.

Raiz da função

A função afim tem exatamente uma raiz (zero) para $a \neq 0$:

$$ax + b = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{a}.$$

Geometricamente, $x_0$ é o ponto onde a reta cruza o eixo $x$. No gráfico acima, experimente $b = 0$ — a raiz coincide com a origem — e depois aumente $b$ para ver o zero se deslocar para a esquerda.

Considerada por muitos a equação mais bonita da matemática, a identidade de Euler conecta cinco constantes fundamentais numa relação surpreendentemente simples.

A fórmula

Para qualquer $\theta \in \mathbb{R}$,

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

Em particular, tomando $\theta = \pi$:

$$e^{i\pi} + 1 = 0.$$

Cinco constantes fundamentais — $e$, $i$, $\pi$, $1$ e $0$ — reunidas numa única equação.

Demonstração via série de Taylor

Expandimos $e^{i\theta}$ como série de potências:

$$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^n}{n!}.$$

Separando os termos pares (onde $i^{2k} = (-1)^k$) dos ímpares (onde $i^{2k+1} = (-1)^k i$):

$$e^{i\theta} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$

Reconhecemos as séries de Taylor do cosseno e do seno:

$$\cos\theta = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!}, \qquad \sin\theta = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$

Portanto $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. $\square$

Interpretação geométrica

O número $e^{i\theta}$ representa um ponto na circunferência unitária do plano complexo, formando ângulo $\theta$ com o eixo real. Multiplicar por $e^{i\theta}$ equivale a rotacionar por $\theta$ radianos.

Essa conexão transforma identidades trigonométricas em simples manipulações de exponenciais. Por exemplo, a fórmula de adição:

$$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta}$$

expande imediatamente para

$$\cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta) = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta),$$

de onde se extraem $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ e a fórmula análoga para o seno.

Fórmulas de De Moivre

Como corolário direto,

$$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \implies (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).$$

Isso permite calcular potências de números complexos e extrair raízes $n$-ésimas da unidade:

$$z^n = 1 \implies z = e^{2\pi i k/n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1.$$