In March 2026, Singapore's Minister of Education, Desmond Lee, walked into Parliament during the Ministry of Education budget debate carrying physical copies of a single math problem. He handed them out and asked his colleagues to solve it on the spot.

The problem was Question 14 from Paper 2 of the 2022 PSLE — the Primary School Leaving Examination, sat by twelve-year-olds. Lee's point was that questions famous for being "impossible" are in fact deliberately broken into parts that guide the student's reasoning. MP Lee Hui Ying joked on social media afterwards that her cortisol levels only dropped after she reached the correct answer of 32 cm.

The problem

The figure shows the amount of water in two rectangular containers, X and Y, at first.

Ray poured $\frac{1}{5}$ of the water from X into Y to fill it to the top, without overflowing.

(a) How much water was there in X at first? [2 marks]

(b) Ray then poured all the water from Y into X. $120\text{ cm}^3$ of water overflowed from X. What was the height of X? [3 marks]

Solution

Part (a)

The fraction of water transferred from X — a fifth of its original volume — is precisely the volume needed to fill the empty $8\text{ cm}$ at the top of Y:

$$\frac{V}{5} \;=\; 15 \times 12 \times 8 \;=\; 1440 \text{ cm}^3$$

Therefore:

$$V \;=\; 7200 \text{ cm}^3$$

That is how much water was in X to begin with.

Part (b)

After the first pour, X holds the remaining $\frac{4}{5}$ of its water:

$$\tfrac{4}{5} \times 7200 \;=\; 5760 \text{ cm}^3$$

When Y is full, it contains all $22\text{ cm}$ of water:

$$15 \times 12 \times 22 \;=\; 3960 \text{ cm}^3$$

Ray pours that $3960\text{ cm}^3$ back into X. Of that, $120\text{ cm}^3$ overflows, so the volume that actually fits inside X — added on top of the $5760\text{ cm}^3$ already there — is:

$$3960 - 120 \;=\; 3840 \text{ cm}^3$$

The full capacity of X is therefore:

$$5760 + 3840 \;=\; 9600 \text{ cm}^3$$

X has a $20 \times 15 = 300\text{ cm}^2$ base, so its height $h$ must satisfy:

$$300 \, h \;=\; 9600 \quad\Longrightarrow\quad h \;=\; 32 \text{ cm}$$

So container X is $\boxed{32\text{ cm}}$ tall — the answer that brought Parliament's cortisol levels back to normal.

Why this problem?

What makes Q14 quietly elegant is that neither part rewards memorisation. Part (a) hinges on noticing a single fact — one fifth of X exactly fills the empty space in Y — and turning that sentence into one equation. Part (b) asks the student to track three quantities (water still in X, water poured back from Y, water that overflows) and to realise that their sum is the capacity of X, not its current content.

That layered structure is exactly why Lee distributed the question to Parliament: a problem that looks impossible at a glance and turns out, on second reading, to be a sequence of small steps. Each step is easy. Putting them in the right order is the actual skill being tested.

Fiz um programa que desenha uma mandala generativa em tempo real, controlada pela sua mão na frente da webcam. Sem GPU dedicada, sem nada especial — só Python rodando no seu computador.

Como funciona

A câmera captura o vídeo da sua mão. Um modelo de visão computacional do Google (MediaPipe) detecta 21 pontos na mão em tempo real — ponta dos dedos, juntas, pulso. O programa usa esses pontos para três coisas:

• Posição do centro da palma → move a mandala pela tela
• Distância entre o polegar e o indicador (gesto de pinça) → controla o tamanho
• Ângulo entre o pulso e o dedo médio → gira as camadas da mandala

A mandala tem quatro camadas concêntricas. As camadas pares giram em um sentido, as ímpares no sentido contrário — então quando você vira a palma, a mandala "abre" como um mecanismo. Quando você move a mão rápido, aparecem partículas coloridas voando ao redor.

Tem também um efeito de desfoque de fundo, igual ao do Zoom/Teams: o programa separa sua silhueta do fundo e borra só o fundo. Tudo calculado no processador, frame a frame.

Se você tiver duas mãos na frente da câmera, surgem duas mandalas independentes.

Controles pelo teclado

Tecla	Função
1 a 5	Troca a paleta de cores (Terra, Âmbar, Oceano, Ametista, Névoa)
+ / -	Aumenta ou diminui o número de pétalas
B	Alterna o modo de mistura de cores (Normal ↔ Aditivo/neon)
C	Liga/desliga a imagem da câmera no fundo
D	Liga/desliga o desfoque de fundo
F	Tela cheia
S	Salva uma foto da tela
R	Inicia/para gravação de vídeo (.mp4)
Q ou ESC	Sai

No Windows, as teclas [ e ] também controlam o brilho da câmera.

Como rodar no seu computador

Você vai precisar de Python 3.11 e de uma webcam. O código está no GitHub com instruções completas de instalação para Windows, Linux e macOS, incluindo soluções para os erros mais comuns:

github.com/GianMira/mandala-interativa

git clone https://github.com/GianMira/mandala-interativa
cd mandala-interativa

Você assistiu Stranger Things? Na série, existe o Mundo Invertido — um lugar sombrio que espelha o mundo real, mas com regras diferentes. Os personagens precisam entrar nele, descobrir o que está acontecendo lá dentro, e voltar com a informação.

Na matemática acontece algo parecido, e muito menos assustador. Alguns problemas são difíceis no "mundo normal" e triviais num mundo invertido — um universo paralelo construído por uma transformação matemática. O segredo está em encontrar essa transformação, atravessar para o outro lado, resolver o problema de forma fácil, e retornar com a solução traduzida de volta.

A bijeção entre dois mundos

O exemplo mais familiar é o logaritmo. Multiplicar dois números grandes é trabalhoso; somá-los é fácil. O logaritmo converte multiplicação em adição:

$$\log(a \cdot b) = \log a + \log b$$

No século XVII, John Napier inventou as tábuas de logaritmos precisamente para poupar os astrônomos de multiplicações intermináveis. Johannes Kepler foi um dos primeiros a usá-las intensamente — e chegou às suas leis do movimento planetário em parte graças a essa ferramenta. A ideia era entrar no mundo dos logaritmos, fazer uma soma simples, e retornar com o resultado da multiplicação. Conta de vezes, no mundo original, vira conta de soma no mundo invertido.

Essa ideia de bijeção entre dois mundos aparece em toda a matemática. A Transformada de Fourier converte convolução em multiplicação. A Transformada de Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas. Em cada caso, a transformação é invertível: o que você descobre no mundo invertido pode ser traduzido de volta.

Inversão geométrica

Na geometria plana existe uma transformação com esse mesmo espírito. Fixe um ponto $O$ (centro de inversão) e um raio $R > 0$. A inversão geométrica mapeia cada ponto $P \ne O$ a um único ponto $P'$, na mesma semirreta $\overrightarrow{OP}$, satisfazendo:

$$OP \cdot OP' = R^2$$

Quanto mais perto $P$ está de $O$, mais longe vai $P'$ — e vice-versa. Os pontos sobre o próprio círculo de raio $R$ ficam fixos.

A inversão tem propriedades notáveis que a tornam útil:

• Círculos que não passam por $O$ mapeiam para outros círculos.
• Círculos que passam por $O$ mapeiam para retas.
• A transformação é uma involução: aplicada duas vezes, devolve o ponto original.
• Tangências são preservadas: se dois círculos se tocam, suas imagens também se tocam.

A última propriedade é a chave para o que vem a seguir.

A corrente de Steiner

Dado dois círculos — um dentro do outro, não necessariamente concêntricos — uma corrente de Steiner com $n$ elos é uma sequência fechada de $n$ círculos, cada um tangente às duas circunferências-base e aos dois vizinhos da cadeia.

O problema é: para quais pares de circunferências-base tal corrente existe?

A resposta direta, no mundo original com dois círculos excêntricos, envolve álgebra pesada. No mundo invertido, o problema se dissolve.

O truque

Qualquer par de círculos sem intersecção pode ser levado, por uma inversão bem escolhida, a um par de círculos concêntricos. Nesse mundo invertido:

• Os $n$ elos da corrente têm todos o mesmo raio $\rho = \frac{R - r}{2}$, onde $R$ e $r$ são os raios externo e interno.
• Seus centros estão igualmente espaçados num círculo de raio $\frac{R+r}{2}$.
• A condição de fechamento — o elo $n$ deve ser tangente ao elo $1$ — reduz-se a uma única equação trigonométrica:

$$\boxed{\sin\frac{\pi}{n} = \frac{R - r}{R + r}}$$

Para $n = 5$: $\sin 36° \approx 0{,}588$, logo $r \approx 0{,}260\,R$.

Como a inversão preserva tangências, qualquer corrente que fecha no mundo concêntrico fecha igualmente no mundo original. E mais: se a corrente fecha para alguma posição inicial, ela fecha para qualquer posição — os elos podem deslizar livremente ao redor das circunferências-base. Esse resultado surpreendente é o Teorema de Steiner.

Animação interativa

A animação abaixo mostra os dois mundos simultaneamente. À esquerda: a corrente original concêntrica, girando. À direita: a imagem invertida — a corrente de Steiner num par de círculos excêntricos, que é o caso geral. O ponto $O$ é o centro de inversão: arraste-o e veja o mundo invertido se deformar, mantendo sempre as cinco tangências.

O ponto P está fixo no referencial do círculo que o contém. Sua imagem P' satisfaz $OP \cdot OP' = R^2$ e aparece sempre colinear com $O$ e $P$.

Arraste O para mudar a inversão. P e P' são sempre colineares com O e satisfazem OP · OP' = R².

O que a animação mostra

À esquerda vê-se a cadeia concêntrica: os cinco círculos com raios iguais, espaçados uniformemente, girando em torno dos dois círculos-base — é o mundo fácil, onde a equação de fechamento $\sin(\pi/5) = (R-r)/(R+r)$ é imediata.

À direita está a cadeia original no mundo excêntrico: os cinco elos têm tamanhos diferentes e estão distribuídos de forma irregular — exatamente o caso geral do Teorema de Steiner. Toda a complexidade do problema original se dissolve quando visto pelo lado direito da bijeção.

Arrastar o ponto $O$ muda a inversão: você está escolhendo como os dois mundos se correspondem. O teorema continua verdadeiro para qualquer posição de $O$ fora dos círculos-base.

Referências

• H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer — Geometry Revisited. Mathematical Association of America, 1967.
• C. Stanley Ogilvy — Excursions in Geometry. Oxford University Press, 1969.

Imagine um carro que percorre uma estrada de ida com velocidade $v_1$ e volta com velocidade $v_2$. Qual é a velocidade média do percurso total? A resposta intuitiva — fazer a média aritmética $\frac{v_1+v_2}{2}$ — está errada. A resposta correta usa a média harmônica.

Por que a intuição falha

A velocidade média não é a média das velocidades. É definida como:

$$\bar{v} = \frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}$$

O erro clássico é somar as velocidades e dividir por dois. Isso seria correto se os tempos fossem iguais — mas aqui os tempos são diferentes. Com velocidades distintas, o trajeto mais lento consome mais tempo, e por isso "pesa mais" no resultado.

Demonstração

Seja $d$ a distância de ida (e também de volta). A distância total é $2d$.

O tempo de ida é $t_1 = \dfrac{d}{v_1}$ e o tempo de volta é $t_2 = \dfrac{d}{v_2}$.

O tempo total é:

$$t = t_1 + t_2 = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2} = d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) = d\cdot\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$$

Portanto, a velocidade média é:

$$\bar{v} = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{d\cdot\dfrac{v_1+v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$$

Essa é exatamente a média harmônica de $v_1$ e $v_2$:

$$\boxed{\bar{v} = \frac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}}$$

Comparando as três médias

Para $v_1 = 60\ \text{km/h}$ e $v_2 = 120\ \text{km/h}$:

Média	Fórmula	Resultado
Aritmética	$\dfrac{60 + 120}{2}$	$90\ \text{km/h}$
Harmônica	$\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 120}{60 + 120}$	$80\ \text{km/h}$

A média aritmética superestima a velocidade média real. Isso faz sentido: o trecho lento (60 km/h) dura o dobro do tempo que o trecho rápido (120 km/h), então "domina" a média temporal.

Desigualdade entre as médias

Em geral, para quaisquer $v_1, v_2 > 0$ com $v_1 \ne v_2$, vale a desigualdade:

$$\underbrace{\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}}_{\text{harmônica}} < \underbrace{\sqrt{v_1 v_2}}_{\text{geométrica}} < \underbrace{\frac{v_1+v_2}{2}}_{\text{aritmética}}$$

A média harmônica é sempre a menor das três. A igualdade ocorre somente quando $v_1 = v_2$.

Visualização interativa

Três objetos partem do mesmo ponto e percorrem a distância $2d$ (ida e volta). O objeto azul usa as velocidades reais $v_1$ e $v_2$. O objeto verde anda o tempo todo com a média harmônica. O objeto vermelho anda com a média aritmética. Ao fim do percurso, azul e verde chegam juntos — vermelho chega antes, porque superestima a velocidade.

Generalização: $n$ trechos

Se um percurso é dividido em $n$ trechos de mesma distância com velocidades $v_1, v_2, \ldots, v_n$, a velocidade média é a média harmônica:

$$\bar{v} = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{v_i}}$$

Se os trechos tiverem mesmos tempos (não mesmas distâncias), aí sim a média aritmética seria a correta. O ponto-chave é sempre perguntar: o que está sendo igualado — as distâncias ou os tempos?

Resumo

Situação	Média correta
Mesmas distâncias, velocidades diferentes	Harmônica
Mesmos tempos, velocidades diferentes	Aritmética
Mesmos tempos, magnitudes diferentes	Geométrica (crescimento)

Quando a velocidade se aplica a espaço percorrido e queremos a velocidade equivalente global, sempre recorra à definição: distância total dividida pelo tempo total. Se os trechos são equidistantes, isso resulta na média harmônica.