A função afim (ou de primeiro grau) é talvez a função mais simples com variação não-trivial. Ela aparece em física como movimento uniforme, em economia como custo marginal constante e em geometria como a equação de uma reta.

Definição

Uma função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é afim quando pode ser escrita na forma

$$f(x) = ax + b, \qquad a, b \in \mathbb{R},\; a \neq 0.$$

Os dois parâmetros têm interpretações geométricas precisas:

• $a$ é a inclinação (coeficiente angular): mede a taxa de variação de $f$ por unidade de $x$.
• $b$ é o intercepto (coeficiente linear): o valor $f(0)$, onde a reta cruza o eixo $y$.

Taxa de variação constante

Dados quaisquer dois pontos $x_1 \neq x_2$, a razão de variação é sempre a mesma:

$$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(ax_2 + b) - (ax_1 + b)}{x_2 - x_1} = \frac{a(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a.$$

Essa constância é a propriedade que caracteriza as funções afins entre todas as funções reais.

Casos especiais

• $a > 0$: função crescente — a reta sobe da esquerda para a direita.
• $a < 0$: função decrescente — a reta desce.
• $b = 0$: a reta passa pela origem; $f$ é chamada de função linear (ou homogênea de grau 1).

Gráfico interativo

Use os controles abaixo para explorar como $a$ e $b$ moldam a reta.

Raiz da função

A função afim tem exatamente uma raiz (zero) para $a \neq 0$:

$$ax + b = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{a}.$$

Geometricamente, $x_0$ é o ponto onde a reta cruza o eixo $x$. No gráfico acima, experimente $b = 0$ — a raiz coincide com a origem — e depois aumente $b$ para ver o zero se deslocar para a esquerda.

Considerada por muitos a equação mais bonita da matemática, a identidade de Euler conecta cinco constantes fundamentais numa relação surpreendentemente simples.

A fórmula

Para qualquer $\theta \in \mathbb{R}$,

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

Em particular, tomando $\theta = \pi$:

$$e^{i\pi} + 1 = 0.$$

Cinco constantes fundamentais — $e$, $i$, $\pi$, $1$ e $0$ — reunidas numa única equação.

Demonstração via série de Taylor

Expandimos $e^{i\theta}$ como série de potências:

$$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^n}{n!}.$$

Separando os termos pares (onde $i^{2k} = (-1)^k$) dos ímpares (onde $i^{2k+1} = (-1)^k i$):

$$e^{i\theta} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$

Reconhecemos as séries de Taylor do cosseno e do seno:

$$\cos\theta = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!}, \qquad \sin\theta = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$

Portanto $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. $\square$

Interpretação geométrica

O número $e^{i\theta}$ representa um ponto na circunferência unitária do plano complexo, formando ângulo $\theta$ com o eixo real. Multiplicar por $e^{i\theta}$ equivale a rotacionar por $\theta$ radianos.

Essa conexão transforma identidades trigonométricas em simples manipulações de exponenciais. Por exemplo, a fórmula de adição:

$$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta}$$

expande imediatamente para

$$\cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta) = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta),$$

de onde se extraem $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ e a fórmula análoga para o seno.

Fórmulas de De Moivre

Como corolário direto,

$$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \implies (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).$$

Isso permite calcular potências de números complexos e extrair raízes $n$-ésimas da unidade:

$$z^n = 1 \implies z = e^{2\pi i k/n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1.$$